توزیع های آماری
تابع پوآسون
توزیع پواسون یک توزیع احتمال گسسته است. این توزیع احتمال وقوع یک رویداد را در تعداد معین (x) و در یک بازه زمانی مشخص نشان می دهد. توزیع پواسون تنها یک پارامتر دارد، λ (لامبدا)، که میانگین تعداد رویدادها است. در برخی از مثال ها نیز از پارامتر µ برای نشان دادن میانگین استفاده می شود. توزیع پوآسون زمانی به کار می رود که احتمال وقوع یک رویداد در یک بازه زمانی مشخص باشد؛ ولی امکان وقوع رویداد در یک زمان دقیق وجود نداشته باشد. بنابراین تابع پوآسون برای محاسبه احتمال وقوع یک رویداد در زمان های مشخص استفاده می شود. تابع پوآسون به شرح زیر است:
در توزیع پوآسون یک پارامتر λ برای محاسبات وجود دارد. انحراف معیار این توزیع نیز برابر میانگین است بنابراین با λ نشان داده می شود.
مثال
مثال زیر را برای درک بهتر این تابع در نظر می گیریم:
*فرض کنیم میانگین تعداد تصادف ها در بازه ساعتی 8 تا 10 صبح 12 مورد می باشد. احتمال رخداد 6 تصادف در این بازه ساعتی چقدر می تواند باشد؟ در این مثال ƛ=12 و 6= xاست.
با توجه به محاسبات 2% احتمال دارد که 6 تصادف در بازه زمانی مشخص شده رخ دهد.
*اگر احتمال رخداد کمتر از 8 تصادف را در این بازه زمانی محاسبه کنیم، نتیجه به صورت زیر است:
بنابراین احتمال رخداد کمتر از 8 تصادف در بازه زمانی مشخص شده، 8% است. به خاطر داشته باشیم در فرمول سیگما، احتمال رخداد از 0 تا 7 محاسبه می شود.
در مثال قبل، میانگین رخداد در بازه دو ساعت مشخص شده است. در صورتی که احتمال رخداد در بازه دقیقه درخواست شود، مقدار میانگین تغییر می کند.
*احتمال رخداد کمتر از 4 تصادف در بازه 30 دقیقه ای چقدر است؟
احتمال رخداد کمتر از 4 تصادف در بازه 30 دقیقه ای برابر 64% است.
احتمال رخداد حداقل یک تصادف در بازه دو ساعته به صورت زیر است:
نمودار توزیع پوآسون
تصویر زیر نشان دهنده توزیع پوآسون با میانگین های مختلف است. هر چه تعداد میانگین بالاتر می رود نمودار توزیع پواسون به توزیع نرمال شباهت بیشتری پیدا می کند.
تصویر از سایت scribbr استخراج شده است.
محاسبه توزیع پوآسون
لینک های زیر جهت سهولت محاسبه سایر میانگین ها با رخداد های متنوع به کار می رود.
https://homepage.divms.uiowa.edu/~mbognar/applets/pois.html
https://stattrek.com/online-calculator/poisson
کاربرد توزیع پواسون
توزیع پوآسون برای متغیرهای گسسته شمارشی استفاده می شود. مثلا پیش بینی احتمال تعداد محصولات معیوب تولیدی در بازه مشخص، تعداد افرادی که در یک بازه زمانی کار را ترک کرده اند، تعداد تماس های مرکز تماس در شیفت شب.
فرمول محاسبه توزیع پوآسون در اکسل
در صورتی که محاسبات توزیع پوآسون در اکسل انجام گیرد، فرمول زیر به کار می رود:
در صورتی که احتمال رخداد غیرتجمعی باشد، از عبارت FALSE و در صورتی که احتمال رخداد تجمعی باشد از عبارت TRUE استفاده می شود. در مثال های پیشین، برای محاسبه 6 رخداد تصادف در بازه دو ساعته فرمول به صورت POISSON.DIST ( 6 , 12 , FALSE) است. برای احتمال رخداد تصادف کمتر از 8 تصادف فرمول به صورت POISSON.DIST ( 7 , 12 , TRUE) است. دقت داشته باشیم برای احتمال رخداد کمتر از 8 تصادف، باید در فرمول اکسل X=7 باشد.
دیدگاهتان را بنویسید